حاسبة متجه الوحدة

كيفية استخدام حاسبة متجه الوحدة

يستغرق استخدام حاسبة متجه الوحدة 3 خطوات: اختر الإعداد، وأدخل المركّبات، واقرأ النتيجة. تُعيد الحاسبة الحساب لحظة الكتابة، فلا يوجد زرّ إرسال للضغط عليه، ويظهر حل كامل خطوة بخطوة أسفل الأداة.

إدخال مركّبات ثنائية وثلاثية الأبعاد

أدخل متجهاً ثنائي الأبعاد بملء حقلَي x وy بعد ضبط البُعد على ثنائي الأبعاد. أدخل متجهاً ثلاثي الأبعاد بالتبديل إلى ثلاثي الأبعاد، ما يُظهر حقل z لمتجه على الصورة <x, y, z>. تقبل الحقول الأعداد العشرية والسالبة والتعابير القصيرة مثل sqrt(2) أو 3^2. يؤطّر نظام الإحداثيات الديكارتية كلتا الحالتين، فيقع المتجه ثنائي الأبعاد في المستوى بينما يشير المتجه ثلاثي الأبعاد إلى أي اتجاه في الفضاء ثلاثي الأبعاد.

ما الذي تحصل عليه (شرح المخرجات)

تُعيد الحاسبة 4 مخرجات لكل متجه غير صفري تدخله، مدرجة في الجدول أدناه.

مقدار المتجه ‖v‖ - ماذا يعني هذا الرقم

مقدار المتجه ||v|| هو طول المتجه، ويُوجد بالعلاقة ||v|| = sqrt(x^2 + y^2 + z^2). يخبرك هذا الرقم بمدى وصول السهم من نقطة الأصل إلى رأسه. المقدار الذي يساوي 5 يعني أن طول المتجه 5 وحدات. هذه هي القيمة نفسها التي تعيدها حاسبة مقدار المتجه أو حاسبة المسافة، وتأتي مباشرةً من نظرية فيثاغورس مطبَّقة على المركّبات.

متجه الوحدة بصورة المركّبات ⟨x/‖v‖, …⟩

يسرد متجه الوحدة بصورة المركّبات كل مركّبة أصلية مقسومة على المقدار، ويُكتب <x/||v||, y/||v||, z/||v||>. تقع كل مركّبة من متجه الوحدة بين -1 و1، ويساوي مجموع مربّعات جميع المركّبات 1. تُبقي هذه الصورة اتجاه المتجه دون تغيير مع ضبط الطول على 1 بالضبط.

النتيجة نفسها بترميز i, j, k

يظهر متجه الوحدة نفسه بترميز i, j, k، حيث i = <1, 0, 0> وj = <0, 1, 0> و k = <0, 0, 1> هي متجهات الأساس. يُقرأ متجه الوحدة <0.6, 0.8> على أنه 0.6 i + 0.8 j. تحمل الصورتان الأرقام نفسها، فاختر الترميز الذي يستخدمه مقرّرك أو شيفرتك البرمجية.

زوايا الاتجاه / جيوب تمام الاتجاه

زوايا الاتجاه α وβ و γ هي الزوايا التي يصنعها المتجه مع المحاور x وy وz. وجيوب تمامها، أي جيوب تمام الاتجاه، تساوي مركّبات متجه الوحدة. وبالنسبة لمتجه ثنائي الأبعاد تُبلّغ الحاسبة عن زاوية اتجاه واحدة theta = atan2(y, x) مقيسة من المحور x الموجب.

ما هو متجه الوحدة؟

متجه الوحدة هو متجه طوله يساوي 1. يُحدّد اتجاهاً خالصاً دون أن يحمل أي حجم. تقسيم أي متجه غير صفري على مقداره يُنتج متجه الوحدة على الخطّ نفسه. في نظام الإحداثيات الديكارتية، فإن متجهات الوحدة الـ3 التي تبني الفضاء ثلاثي الأبعاد هي <1, 0, 0> للاتجاه x، و<0, 1, 0> للاتجاه y، و<0, 0, 1> للاتجاه z. كل متجه في الفضاء ثلاثي الأبعاد يساوي مجموع متجهات الوحدة هذه.

ترميز القبّعة (v̂)

يكتب ترميز القبّعة متجه الوحدة بوضع علامة محصورية، أو قبّعة، فوق الحرف، فيُكتب متجه وحدة v على الصورة v̂ ويُقرأ “v-hat.” القبّعة هي الإشارة المعيارية إلى أن طول المتجه 1. تحمل متجهات الأساس العلامة نفسها، كما في î وĵ وk̂.

متجه الوحدة مقابل متجه الاتجاه

يصف متجه الوحدة ومتجه الاتجاه الفكرة نفسها من زاويتين. يشير متجه الاتجاه إلى وجهة مختارة وقد يكون له أي طول. أما متجه الوحدة فهو متجه اتجاه مُحجّم إلى طول 1. يضعهما الجدول أدناه جنباً إلى جنب.

متجه الوحدة مقابل متجه الأساس (i, j, k)

متجه الأساس هو متجه وحدة مثبَّت على محور إحداثي، بينما يمكن لمتجه الوحدة أن يشير في أي اتجاه. متجهات الأساس الـ3 i وj وk طول كلٍّ منها 1 وتتراصف مع المحاور x وy وz. أما متجه وحدة مثل <0.6, 0.8> فطوله أيضاً 1 لكنه يشير بين المحاور. كل متجه أساس هو متجه وحدة، لكن معظم متجهات الوحدة ليست متجهات أساس.

صيغة متجه الوحدة (û = v/|v|)

صيغة متجه الوحدة هي û = v / |v|، حيث û هو متجه الوحدة، وv هو المتجه الأصلي على الصورة <x, y, z>، و|v| هو المقدار. يستغرق تطبيق الصيغة 3 خطوات.

الخطوة 1 - إيجاد المقدار

أوجد المقدار بتربيع كل مركّبة، وجمع المربّعات، وأخذ الجذر التربيعي: |v| = sqrt(x^2 + y^2 + z^2). بالنسبة إلى v = <8, -3, 5>، المقدار هو sqrt(64 + 9 + 25) = sqrt(98) ≈ 9.8995.

الخطوة 2 - قسمة كل مركّبة

اقسم كل مركّبة على المقدار للحصول على مركّبات متجه الوحدة. بالنسبة للمتجه نفسه، x = 8 / 9.8995 ≈ 0.8081، وy = -3 / 9.8995 ≈ -0.3030، و z = 5 / 9.8995 ≈ 0.5051، إذن û = <0.8081, -0.3030, 0.5051>.

الخطوة 3 - التحقّق من أن الطول يساوي 1

تحقّق من النتيجة بحساب مقدارها، الذي ينبغي أن يساوي 1. تربيع المركّبات أعلاه وجمعها يعطي 0.6530 + 0.0918 + 0.2552 = 1.0000، إذن ينجح تحقّق الطول. تُجري الحاسبة هذا التحقّق من متجه الوحدة نيابةً عنك وتطبع القيمة بجوار النتيجة.

أمثلة محلولة

تغطّي الأمثلة المحلولة الـ4 أدناه متجهاً ثنائي الأبعاد، ومتجهاً ثلاثي الأبعاد، ومتجهاً من نقطتين، ومتجهاً بمركّبات سالبة. أدخل أياً منها في الحاسبة أعلاه لرؤية الخطوات نفسها تجري مباشرةً.

مثال متجه وحدة ثنائي الأبعاد ⟨3,4⟩ → ⟨0.6, 0.8⟩

متجه الوحدة لـ<3, 4> هو <0.6, 0.8>. المقدار هو sqrt(3^2 + 4^2) = sqrt(25) = 5، إذن القسمة تعطي <3/5, 4/5> = <0.6, 0.8>. ويعيد تحقّق الطول 0.36 + 0.64 = 1.

مثال متجه وحدة ثلاثي الأبعاد ⟨1,1,1⟩ → ⟨0.577…⟩

متجه الوحدة لـ<1, 1, 1>، أي قطر المكعّب، هو <0.5774, 0.5774, 0.5774>. المقدار هو sqrt(1 + 1 + 1) = sqrt(3) ≈ 1.7321، إذن تصبح كل مركّبة 1 / sqrt(3) ≈ 0.5774. تتطابق المركّبات الـ3 جميعها لأن المتجه يشير بالتساوي على طول كل محور.

متجه وحدة من نقطتين (A → B)

أوجد متجه الوحدة من النقطة A إلى النقطة B بطرح الإحداثيات، ثم التطبيع. بالنسبة إلى A = (2, 1, 3) وB = (5, 5, 15)، فإن الإزاحة هي B - A = <3, 4, 12>. المقدار هو sqrt(9 + 16 + 144) = sqrt(169) = 13، إذن متجه الوحدة هو <3/13, 4/13, 12/13> ≈ <0.2308, 0.3077, 0.9231>.

متجه وحدة بمركّبات سالبة ⟨-5,12⟩

متجه الوحدة لـ<-5, 12> هو <-0.3846, 0.9231>. المقدار هو sqrt(25 + 144) = sqrt(169) = 13، إذن المركّبتان هما -5/13 و12/13. تنتقل الإشارة السالبة، ويظلّ تحقّق الطول يعيد 0.1479 + 0.8521 = 1.

زوايا الاتجاه & جيوب تمام الاتجاه

تربط زوايا الاتجاه وجيوب تمام الاتجاه متجه الوحدة بالمحاور الإحداثية. تقيس الزوايا التوجّه، وتكون جيوب تمامها هي مركّبات متجه الوحدة نفسها.

ما هي زوايا الاتجاه (α, β, γ)؟

زوايا الاتجاه α وβ و γ هي الزوايا التي يصنعها المتجه مع المحاور الموجبة x وy وz، وتقع كل منها بين 0° و180°. بالنسبة لقطر المكعّب <1, 1, 1>، تساوي الزوايا الـ3 جميعها 54.74° (0.9553 rad)، لأن المتجه يميل بالتساوي نحو كل محور.

كيف تساوي مركّبات متجه الوحدة جيوب تمام الاتجاه

تساوي كل مركّبة من متجه الوحدة جيب تمام زاوية اتجاهها، وهي القيم المعروفة بـجيوب تمام الاتجاه، إذن cos α = x/|v| وcos β = y/|v| و cos γ = z/|v|. وبذلك يكون لمتجه الوحدة <0.6, 0.8> جيبا تمام اتجاه 0.6 و0.8، ما يعطي زاويتين قدرهما 53.13° و 36.87°. ويساوي مجموع مربّعات جيوب تمام الاتجاه 1، وهي القاعدة نفسها التي تُعرّف متجه الوحدة.

متجهات ذات صلة

يبني متجهان ذوا صلة على التطبيع: متجه العمودي الوحدة ومتجه المماس الوحدة.

حالات خاصة & أخطاء شائعة

تربك 4 حالات الناس أكثر من غيرها: المتجه الصفري، والمتجه المُطبّع أصلاً، والمركّبات السالبة، والقسمة على المقدار الخاطئ.

المتجه الصفري (لا يمكن تطبيعه)

المتجه الصفري <0, 0, 0> لا يمكن تطبيعه. مقداره 0، والقسمة على صفر غير معرّفة، فلا يوجد له متجه وحدة. كما أن المتجه الصفري ليس له اتجاه، وهذا سبب صحّة القاعدة. تُشير الحاسبة إلى هذه الحالة بدلاً من إعادة نتيجة.

متجه هو أصلاً متجه وحدة

المتجه الذي طوله أصلاً 1 يبقى كما هو بعد التطبيع. تحقّق بحساب المقدار: إذا ساوى 1، فإن المتجه هو متجه وحدة لنفسه. يُعيد المتجه <0.6, 0.8> القيمة <0.6, 0.8> لأن sqrt(0.36 + 0.64) = 1.

هل يمكن أن تكون متجهات الوحدة سالبة؟

نعم، يمكن أن تكون لمتجهات الوحدة مركّبات سالبة. تُحدّد الإشارة السالبة الاتجاه على طول محور، لا الطول. المتجه <-0.6, 0.8> هو متجه وحدة صحيح لأن 0.36 + 0.64 = 1. ويظلّ الطول موجباً حتى عندما تصبح المركّبات سالبة.

القسمة على المقدار الخاطئ

القسمة على المقدار الخاطئ هي أكثر الأخطاء شيوعاً وتعطي نتيجة طولها ليس 1. وتأتي عادةً من نسيان تربيع مركّبة، أو إسقاط الجذر التربيعي، أو خلط حدود ثنائية وثلاثية الأبعاد. أجرِ تحقّق متجه الوحدة بعد القسمة: ربّع المركّبات وتأكّد أن المجموع 1.

لماذا نطبّع المتجهات؟

يفصل تطبيع المتجه الاتجاه عن الحجم، وهو ما يهمّ كلما احتاج حساب ما إلى اتجاه خالص. تعتمد عليه الحقول الـ3 أدناه أكثر من غيرها.

الفيزياء & الهندسة (القوى، الاتجاه)

تستخدم الفيزياء والهندسة متجهات الوحدة للتعبير عن اتجاه قوة أو سرعة أو حقل مع إبقاء المقدار منفصلاً. تنقسم قوة قدرها 20 نيوتن (N) على طول منحدر إلى متجه وحدة للاتجاه وكمية قياسية لمقدار القوة. ويظهر الانقسام نفسه قبل تحليل الإجهاد، وأثناء حسابات الرفع الديناميكي الهوائي، ومن أجل خطوط الحقل المغناطيسي. بل تستخدم معيارية المصفوفة متجهات الوحدة لقياس مدى تمديد تحويل خطّي للمدخلات.

تطوير الألعاب & الرسوميات ثلاثية الأبعاد (الحركة، الإضاءة، العموديات)

يطبّع تطوير الألعاب والرسوميات ثلاثية الأبعاد المتجهات لتحريك الشخصيات بسرعة ثابتة، وحساب الإضاءة، وتخزين عموديات الأسطح. يحافظ متجه حركة مقسوم على مقداره على ثبات السرعة في كل اتجاه. تقود العموديات الوحدة التظليل في فيزياء محرّك الألعاب، وتعتمد دورانات الرباعيات على المتجهات المُطبّعة لتجنّب الانحراف.

الروبوتات ونظام تحديد المواقع وتعلّم الآلة

تطبّع الروبوتات ونظام تحديد المواقع وتعلّم الآلة المتجهات لمقارنة الاتجاه دون تحيّز الحجم. تستخدم الروبوتات متجهات الوحدة لزوايا مفاصل الروبوت وتصويب طرف التنفيذ. ويعمل نظام تحديد المواقع بالإحداثيات الجيوديسية ومتجهات الاتجاه لتحديد الوُجهة. ويطبّع تعلّم الآلة متجهات السمات من أجل تدرّجات الشبكات العصبية وفي التجميع الطيفي، حيث ينبغي أن تُحتسب الزاوية بين المتجهات فقط.

خصائص متجهات الوحدة

تشترك متجهات الوحدة في 6 خصائص مميِّزة، مدرجة أدناه.

الأسئلة الشائعة