इकाई सदिश कैलकुलेटर

इकाई सदिश कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

इकाई सदिश कैलकुलेटर का उपयोग 3 चरणों में होता है: सेटअप चुनें, घटक दर्ज करें, और परिणाम पढ़ें। जैसे ही आप टाइप करते हैं कैलकुलेटर तुरंत पुनर्गणना करता है, इसलिए दबाने के लिए कोई सबमिट बटन नहीं है, और उपकरण के नीचे एक पूर्ण चरण-दर-चरण हल दिखाई देता है।

2D और 3D घटक दर्ज करना

विमा को 2D पर सेट करने के बाद x और y फ़ील्ड भरकर एक 2D सदिश दर्ज करें। 3D पर स्विच करके एक 3D सदिश दर्ज करें, जो <x, y, z> रूप के सदिश के लिए z फ़ील्ड को प्रकट करता है। फ़ील्ड दशमलव, ऋणात्मक और छोटे व्यंजक जैसे sqrt(2) या 3^2 स्वीकार करते हैं। कार्तीय निर्देशांक प्रणाली दोनों स्थितियों को व्यवस्थित करती है, इसलिए एक 2D सदिश समतल में रहता है जबकि एक 3D सदिश 3D अंतरिक्ष में कहीं भी संकेत करता है।

आपको क्या मिलता है (आउटपुट समझाए गए)

आपके द्वारा दर्ज किए गए प्रत्येक अशून्य सदिश के लिए कैलकुलेटर 4 आउटपुट लौटाता है, जो नीचे दी गई तालिका में सूचीबद्ध हैं।

सदिश परिमाण ‖v‖ - संख्या का अर्थ क्या है

सदिश परिमाण ||v|| सदिश की लंबाई है, जो ||v|| = sqrt(x^2 + y^2 + z^2) से ज्ञात होती है। यह संख्या बताती है कि तीर मूल बिंदु से उसके सिरे तक कितनी दूर पहुँचता है। 5 का परिमाण का अर्थ है कि सदिश 5 इकाई लंबा है। यह वही मान है जो एक सदिश परिमाण कैलकुलेटर या एक दूरी कैलकुलेटर लौटाता है, और यह सीधे घटकों पर लागू किए गए पाइथागोरस प्रमेय से आता है।

घटक रूप में इकाई सदिश ⟨x/‖v‖, …⟩

घटक रूप में इकाई सदिश प्रत्येक मूल घटक को परिमाण से भाग देकर सूचीबद्ध करता है, जो <x/||v||, y/||v||, z/||v||> लिखा जाता है। प्रत्येक इकाई सदिश घटक -1 और 1 के बीच होता है, और सभी घटकों के वर्गों का योग 1 होता है। यह रूप सदिश की दिशा को अपरिवर्तित रखते हुए लंबाई को ठीक 1 पर सेट करता है।

i, j, k संकेतन में वही परिणाम

वही इकाई सदिश i, j, k संकेतन में दिखाई देता है, जहाँ i = <1, 0, 0>, j = <0, 1, 0>, और k = <0, 0, 1> आधार सदिश हैं। एक इकाई सदिश <0.6, 0.8> को 0.6 i + 0.8 j के रूप में पढ़ा जाता है। दोनों रूपों में समान संख्याएँ हैं, इसलिए जो भी संकेतन आपका पाठ्यक्रम या कोडबेस उपयोग करता है उसे चुनें।

दिशा कोण / दिशा कोज्याएँ

दिशा कोण α, β, और γ वे कोण हैं जो सदिश x, y और z अक्षों के साथ बनाता है। उनकी कोज्याएँ, अर्थात दिशा कोज्याएँ, इकाई सदिश घटकों के बराबर होती हैं। एक 2D सदिश के लिए कैलकुलेटर धन x-अक्ष से मापा गया एक एकल दिशा कोण theta = atan2(y, x) बताता है।

इकाई सदिश क्या है?

एक इकाई सदिश 1 के बराबर लंबाई वाला एक सदिश है। यह बिना कोई आकार लिए एक शुद्ध दिशा को चिह्नित करता है। किसी भी अशून्य सदिश को उसके परिमाण से भाग देने पर उसी रेखा के अनुदिश इकाई सदिश प्राप्त होता है। एक कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में, वे 3 इकाई सदिश जो 3D अंतरिक्ष का निर्माण करते हैं, x-दिशा के लिए <1, 0, 0>, y-दिशा के लिए <0, 1, 0>, और z-दिशा के लिए <0, 0, 1> हैं। 3D अंतरिक्ष में प्रत्येक सदिश इन इकाई सदिशों के योग के बराबर होता है।

टोपी संकेतन (v̂)

टोपी संकेतन एक इकाई सदिश को अक्षर के ऊपर एक वृत्ताकार चिह्न, या टोपी, के साथ लिखता है, इसलिए v का इकाई सदिश v̂ लिखा जाता है और “v-टोपी” पढ़ा जाता है। टोपी यह दर्शाने का मानक संकेत है कि एक सदिश की लंबाई 1 है। आधार सदिश भी वही चिह्न धारण करते हैं, जैसे î, ĵ, और k̂।

इकाई सदिश बनाम दिशा सदिश

एक इकाई सदिश और एक दिशा सदिश एक ही विचार को दो दृष्टिकोणों से वर्णित करते हैं। एक दिशा सदिश एक चुनी हुई दिशा में संकेत करता है और इसकी कोई भी लंबाई हो सकती है। एक इकाई सदिश लंबाई 1 तक मापा गया एक दिशा सदिश है। नीचे दी गई तालिका उन्हें साथ-साथ रखती है।

इकाई सदिश बनाम आधार सदिश (i, j, k)

एक आधार सदिश एक निर्देशांक अक्ष से जुड़ा हुआ एक इकाई सदिश है, जबकि एक इकाई सदिश किसी भी दिशा में संकेत कर सकता है। 3 आधार सदिश i, j, और k प्रत्येक की लंबाई 1 है और ये x, y और z अक्षों के साथ संरेखित हैं। एक इकाई सदिश जैसे <0.6, 0.8> की भी लंबाई 1 है पर यह अक्षों के बीच संकेत करता है। प्रत्येक आधार सदिश एक इकाई सदिश है, फिर भी अधिकांश इकाई सदिश आधार सदिश नहीं होते।

इकाई सदिश सूत्र (û = v/|v|)

इकाई सदिश सूत्र û = v / |v| है, जहाँ û इकाई सदिश है, v <x, y, z> रूप में मूल सदिश है, और |v| परिमाण है। सूत्र को लागू करने में 3 चरण लगते हैं।

चरण 1 - परिमाण ज्ञात करें

प्रत्येक घटक का वर्ग करके, वर्गों को जोड़कर, और वर्गमूल लेकर परिमाण ज्ञात करें: |v| = sqrt(x^2 + y^2 + z^2)। v = <8, -3, 5> के लिए, परिमाण sqrt(64 + 9 + 25) = sqrt(98) ≈ 9.8995 है।

चरण 2 - प्रत्येक घटक को भाग दें

इकाई सदिश घटक प्राप्त करने के लिए प्रत्येक घटक को परिमाण से भाग दें। उसी सदिश के लिए, x = 8 / 9.8995 ≈ 0.8081, y = -3 / 9.8995 ≈ -0.3030, और z = 5 / 9.8995 ≈ 0.5051, इसलिए û = <0.8081, -0.3030, 0.5051>।

चरण 3 - सत्यापित करें कि लंबाई 1 है

परिणाम का परिमाण गणना करके सत्यापित करें, जो 1 के बराबर होना चाहिए। ऊपर के घटकों का वर्ग करके जोड़ने पर 0.6530 + 0.0918 + 0.2552 = 1.0000 मिलता है, इसलिए लंबाई जाँच उत्तीर्ण होती है। कैलकुलेटर यह इकाई सदिश जाँच आपके लिए चलाता है और परिणाम के पास मान प्रिंट करता है।

हल किए गए उदाहरण

नीचे दिए गए 4 हल किए गए उदाहरण एक 2D सदिश, एक 3D सदिश, दो बिंदुओं से एक सदिश, और ऋणात्मक घटकों वाले एक सदिश को कवर करते हैं। इनमें से किसी को भी ऊपर दिए गए कैलकुलेटर में दर्ज करें ताकि वही चरण लाइव चलते देखें।

2D इकाई सदिश उदाहरण ⟨3,4⟩ → ⟨0.6, 0.8⟩

<3, 4> का इकाई सदिश <0.6, 0.8> है। परिमाण sqrt(3^2 + 4^2) = sqrt(25) = 5 है, इसलिए भाग देने पर <3/5, 4/5> = <0.6, 0.8> मिलता है। लंबाई जाँच 0.36 + 0.64 = 1 लौटाती है।

3D इकाई सदिश उदाहरण ⟨1,1,1⟩ → ⟨0.577…⟩

<1, 1, 1>, अर्थात घन विकर्ण, का इकाई सदिश <0.5774, 0.5774, 0.5774> है। परिमाण sqrt(1 + 1 + 1) = sqrt(3) ≈ 1.7321 है, इसलिए प्रत्येक घटक 1 / sqrt(3) ≈ 0.5774 बन जाता है। तीनों घटक मेल खाते हैं क्योंकि सदिश प्रत्येक अक्ष के अनुदिश समान रूप से संकेत करता है।

दो बिंदुओं से इकाई सदिश (A → B)

निर्देशांकों को घटाकर, फिर सामान्यीकृत करके बिंदु A से बिंदु B तक का इकाई सदिश ज्ञात करें। A = (2, 1, 3) और B = (5, 5, 15) के लिए, विस्थापन B - A = <3, 4, 12> है। परिमाण sqrt(9 + 16 + 144) = sqrt(169) = 13 है, इसलिए इकाई सदिश <3/13, 4/13, 12/13> ≈ <0.2308, 0.3077, 0.9231> है।

ऋणात्मक घटकों वाला इकाई सदिश ⟨-5,12⟩

<-5, 12> का इकाई सदिश <-0.3846, 0.9231> है। परिमाण sqrt(25 + 144) = sqrt(169) = 13 है, इसलिए घटक -5/13 और 12/13 हैं। ऋणात्मक चिह्न आगे बना रहता है, और लंबाई जाँच फिर भी 0.1479 + 0.8521 = 1 लौटाती है।

दिशा कोण और दिशा कोज्याएँ

दिशा कोण और दिशा कोज्याएँ एक इकाई सदिश को निर्देशांक अक्षों से जोड़ती हैं। कोण अभिविन्यास मापते हैं, और उनकी कोज्याएँ स्वयं इकाई सदिश घटक होती हैं।

दिशा कोण क्या हैं (α, β, γ)?

दिशा कोण α, β, और γ वे कोण हैं जो एक सदिश धन x, y और z अक्षों के साथ बनाता है, प्रत्येक 0° और 180° के बीच। घन विकर्ण <1, 1, 1> के लिए, तीनों कोण 54.74° (0.9553 rad) के बराबर होते हैं, क्योंकि सदिश प्रत्येक अक्ष की ओर समान रूप से झुकता है।

इकाई सदिश घटक = दिशा कोज्याएँ कैसे

प्रत्येक इकाई सदिश घटक अपने दिशा कोण की कोज्या के बराबर होता है, इन मानों को दिशा कोज्याएँ कहते हैं, इसलिए cos α = x/|v|, cos β = y/|v|, और cos γ = z/|v|। इसलिए इकाई सदिश <0.6, 0.8> की दिशा कोज्याएँ 0.6 और 0.8 हैं, जिससे 53.13° और 36.87° के कोण मिलते हैं। दिशा कोज्याओं के वर्गों का योग 1 होता है, वही नियम जो एक इकाई सदिश को परिभाषित करता है।

संबंधित सदिश

दो संबंधित सदिश सामान्यीकरण पर आधारित हैं: इकाई अभिलंब सदिश और इकाई स्पर्श सदिश।

विशेष स्थितियाँ और सामान्य गलतियाँ

4 स्थितियाँ लोगों को सबसे अधिक उलझाती हैं: शून्य सदिश, एक पहले से सामान्यीकृत सदिश, ऋणात्मक घटक, और गलत परिमाण से भाग देना।

शून्य सदिश (सामान्यीकृत नहीं किया जा सकता)

शून्य सदिश <0, 0, 0> को सामान्यीकृत नहीं किया जा सकता। इसका परिमाण 0 है, और शून्य से भाग देना अपरिभाषित है, इसलिए इसका कोई इकाई सदिश नहीं है। शून्य सदिश की कोई दिशा भी नहीं होती, यही कारण है कि नियम लागू होता है। कैलकुलेटर परिणाम लौटाने के बजाय इस स्थिति को चिह्नित करता है।

एक सदिश जो पहले से ही एक इकाई सदिश है

एक सदिश जिसकी लंबाई पहले से ही 1 है, सामान्यीकरण के बाद वही रहता है। परिमाण की गणना करके जाँचें: यदि यह 1 के बराबर है, तो सदिश अपना स्वयं का इकाई सदिश है। सदिश <0.6, 0.8> <0.6, 0.8> लौटाता है क्योंकि sqrt(0.36 + 0.64) = 1।

क्या इकाई सदिश ऋणात्मक हो सकते हैं?

हाँ, इकाई सदिशों के ऋणात्मक घटक हो सकते हैं। एक ऋणात्मक चिह्न किसी अक्ष के अनुदिश दिशा निर्धारित करता है, लंबाई नहीं। सदिश <-0.6, 0.8> एक मान्य इकाई सदिश है क्योंकि 0.36 + 0.64 = 1। घटकों के ऋणात्मक होने पर भी लंबाई धनात्मक रहती है।

गलत परिमाण से भाग देना

गलत परिमाण से भाग देना सबसे सामान्य त्रुटि है और एक ऐसा परिणाम देता है जिसकी लंबाई 1 नहीं होती। यह आमतौर पर किसी घटक का वर्ग करना भूलने, वर्गमूल छोड़ देने, या 2D और 3D पदों को मिलाने से आता है। भाग देने के बाद इकाई सदिश जाँच चलाएँ: घटकों का वर्ग करें और पुष्टि करें कि योग 1 है।

सदिशों का सामान्यीकरण क्यों करें?

एक सदिश का सामान्यीकरण दिशा को आकार से अलग करता है, जो तब मायने रखता है जब किसी गणना को एक शुद्ध दिशा की आवश्यकता होती है। नीचे दिए गए 3 क्षेत्र इस पर सबसे अधिक निर्भर करते हैं।

भौतिकी और अभियांत्रिकी (बल, दिशा)

भौतिकी और अभियांत्रिकी किसी बल, वेग, या क्षेत्र की दिशा बताने के लिए इकाई सदिशों का उपयोग करती है, जबकि परिमाण को अलग रखती है। एक रैंप के अनुदिश 20 न्यूटन (N) का बल दिशा के लिए एक इकाई सदिश और सामर्थ्य के लिए एक अदिश में विभाजित हो जाता है। वही विभाजन प्रतिबल विश्लेषण से पहले, वायुगतिकीय उत्थापन गणनाओं के दौरान, और चुंबकीय क्षेत्र रेखाओं के लिए दिखाई देता है। मैट्रिक्स नॉर्म भी इकाई सदिशों का उपयोग यह मापने के लिए करता है कि एक रैखिक रूपांतरण एक इनपुट को कितना खींचता है।

गेम विकास और 3D ग्राफिक्स (गति, प्रकाश, अभिलंब)

गेम विकास और 3D ग्राफिक्स पात्रों को एक स्थिर गति से चलाने, प्रकाश की गणना करने, और सतह अभिलंब संग्रहित करने के लिए सदिशों का सामान्यीकरण करते हैं। अपने परिमाण से भाग दिया गया एक गति सदिश हर दिशा में गति को स्थिर रखता है। इकाई अभिलंब गेम इंजन भौतिकी में छायांकन को संचालित करते हैं, और क्वाटर्नियन घूर्णन बहाव से बचने के लिए सामान्यीकृत सदिशों पर निर्भर करते हैं।

रोबोटिक्स, GPS और मशीन लर्निंग

रोबोटिक्स, GPS और मशीन लर्निंग आकार के पूर्वाग्रह के बिना दिशा की तुलना करने के लिए सदिशों का सामान्यीकरण करते हैं। रोबोटिक्स रोबोटिक जोड़ कोणों और एंड-इफेक्टर लक्ष्य के लिए इकाई सदिशों का उपयोग करती है। GPS शीर्षक के लिए जियोडेटिक निर्देशांकों और दिशा सदिशों के साथ काम करता है। मशीन लर्निंग तंत्रिका नेटवर्क प्रवणताओं के लिए और स्पेक्ट्रल क्लस्टरिंग में फ़ीचर सदिशों का सामान्यीकरण करती है, जहाँ केवल सदिशों के बीच का कोण ही गिना जाना चाहिए।

इकाई सदिशों के गुण

इकाई सदिश 6 परिभाषित गुण साझा करते हैं, जो नीचे सूचीबद्ध हैं।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न