Kalkulator Vektor Satuan

Cara Menggunakan Kalkulator Vektor Satuan

Menggunakan kalkulator vektor satuan memerlukan 3 langkah: pilih pengaturan, masukkan komponen, dan baca hasilnya. Kalkulator menghitung ulang saat Anda mengetik, jadi tidak ada tombol kirim yang perlu ditekan, dan penyelesaian langkah demi langkah yang lengkap muncul di bawah alat ini.

Memasukkan Komponen 2D dan 3D

Masukkan vektor 2D dengan mengisi kolom x dan y setelah mengatur dimensi ke 2D. Masukkan vektor 3D dengan beralih ke 3D, yang menampilkan kolom z untuk vektor dalam bentuk <x, y, z>. Kolom-kolom ini menerima desimal, bilangan negatif, dan ekspresi singkat seperti sqrt(2) atau 3^2. Sistem koordinat Kartesius membingkai kedua kasus, sehingga vektor 2D berada di bidang sedangkan vektor 3D dapat menunjuk ke mana saja di ruang 3D.

Apa yang Anda Dapatkan (Penjelasan Output)

Kalkulator menghasilkan 4 output untuk setiap vektor tak-nol yang Anda masukkan, tercantum dalam tabel di bawah ini.

Besar vektor ‖v‖ - arti angka tersebut

Besar vektor ||v|| adalah panjang vektor, ditemukan dengan ||v|| = sqrt(x^2 + y^2 + z^2). Angka tersebut memberi tahu seberapa jauh anak panah menjangkau dari titik asal ke ujungnya. Besar 5 berarti vektor itu panjangnya 5 satuan. Ini adalah nilai yang sama dengan yang dihasilkan kalkulator besar vektor atau kalkulator jarak, dan nilai itu berasal langsung dari teorema Pythagoras yang diterapkan pada komponen-komponennya.

Vektor satuan dalam bentuk komponen ⟨x/‖v‖, …⟩

Vektor satuan dalam bentuk komponen mencantumkan setiap komponen asli yang dibagi dengan besarnya, ditulis <x/||v||, y/||v||, z/||v||>. Setiap komponen vektor satuan berada di antara -1 dan 1, dan jumlah kuadrat semua komponen sama dengan 1. Bentuk ini menjaga arah vektor tetap tidak berubah sambil menetapkan panjang menjadi tepat 1.

Hasil yang sama dalam notasi i, j, k

Vektor satuan yang sama muncul dalam notasi i, j, k, di mana i = <1, 0, 0>, j = <0, 1, 0>, dan k = <0, 0, 1> adalah vektor-vektor basis. Vektor satuan <0.6, 0.8> dibaca sebagai 0.6 i + 0.8 j. Kedua bentuk memuat angka yang sama, jadi pilih notasi mana pun yang digunakan mata pelajaran atau basis kode Anda.

Sudut arah / kosinus arah

Sudut arah α, β, dan γ adalah sudut yang dibentuk vektor dengan sumbu x, y, dan z. Kosinusnya, yaitu kosinus arah, sama dengan komponen vektor satuan. Untuk vektor 2D, kalkulator melaporkan satu sudut arah theta = atan2(y, x) yang diukur dari sumbu-x positif.

Apa Itu Vektor Satuan?

Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya sama dengan 1. Vektor ini menandai arah murni tanpa membawa ukuran apa pun. Membagi vektor tak-nol apa pun dengan besarnya menghasilkan vektor satuan sepanjang garis yang sama. Dalam sistem koordinat Kartesius, 3 vektor satuan yang membangun ruang 3D adalah <1, 0, 0> untuk arah-x, <0, 1, 0> untuk arah-y, dan <0, 0, 1> untuk arah-z. Setiap vektor di ruang 3D sama dengan jumlah dari vektor-vektor satuan ini.

Notasi Topi (v̂)

Notasi topi menuliskan vektor satuan dengan tanda sirkumfleks, atau topi, di atas huruf, sehingga vektor satuan dari v ditulis v̂ dan dibaca “v-topi.” Topi tersebut adalah tanda baku bahwa sebuah vektor berpanjang 1. Vektor-vektor basis membawa tanda yang sama, seperti pada î, ĵ, dan k̂.

Vektor Satuan vs Vektor Arah

Vektor satuan dan vektor arah menggambarkan gagasan yang sama dari dua sudut pandang. Vektor arah menunjuk ke arah pilihan dan dapat memiliki panjang berapa pun. Vektor satuan adalah vektor arah yang diskalakan ke panjang 1. Tabel di bawah ini menyandingkan keduanya.

Vektor Satuan vs Vektor Basis (i, j, k)

Vektor basis adalah vektor satuan yang terkunci pada sumbu koordinat, sedangkan vektor satuan dapat menunjuk ke arah mana pun. 3 vektor basis i, j, dan k masing-masing berpanjang 1 dan sejajar dengan sumbu x, y, dan z. Vektor satuan seperti <0.6, 0.8> juga berpanjang 1 tetapi menunjuk di antara sumbu-sumbu. Setiap vektor basis adalah vektor satuan, namun sebagian besar vektor satuan bukan vektor basis.

Rumus Vektor Satuan (û = v/|v|)

Rumus vektor satuan adalah û = v / |v|, di mana û adalah vektor satuan, v adalah vektor asli dalam bentuk <x, y, z>, dan |v| adalah besarnya. Menerapkan rumus ini memerlukan 3 langkah.

Langkah 1 - Cari Besarnya

Cari besarnya dengan mengkuadratkan setiap komponen, menjumlahkan kuadratnya, dan mengambil akar kuadratnya: |v| = sqrt(x^2 + y^2 + z^2). Untuk v = <8, -3, 5>, besarnya adalah sqrt(64 + 9 + 25) = sqrt(98) ≈ 9.8995.

Langkah 2 - Bagi Setiap Komponen

Bagi setiap komponen dengan besarnya untuk mendapatkan komponen vektor satuan. Untuk vektor yang sama, x = 8 / 9.8995 ≈ 0.8081, y = -3 / 9.8995 ≈ -0.3030, dan z = 5 / 9.8995 ≈ 0.5051, sehingga û = <0.8081, -0.3030, 0.5051>.

Langkah 3 - Verifikasi Panjangnya Adalah 1

Verifikasi hasilnya dengan menghitung besarnya, yang seharusnya sama dengan 1. Mengkuadratkan dan menjumlahkan komponen di atas memberikan 0.6530 + 0.0918 + 0.2552 = 1.0000, sehingga pemeriksaan panjang lolos. Kalkulator menjalankan pemeriksaan vektor satuan ini untuk Anda dan mencetak nilainya di samping hasilnya.

Contoh Soal

4 contoh soal di bawah ini mencakup vektor 2D, vektor 3D, vektor dari dua titik, dan vektor dengan komponen negatif. Masukkan salah satunya di kalkulator di atas untuk melihat langkah-langkah yang sama berjalan secara langsung.

Contoh Vektor Satuan 2D ⟨3,4⟩ → ⟨0.6, 0.8⟩

Vektor satuan dari <3, 4> adalah <0.6, 0.8>. Besarnya adalah sqrt(3^2 + 4^2) = sqrt(25) = 5, sehingga pembagiannya menghasilkan <3/5, 4/5> = <0.6, 0.8>. Pemeriksaan panjang menghasilkan 0.36 + 0.64 = 1.

Contoh Vektor Satuan 3D ⟨1,1,1⟩ → ⟨0.577…⟩

Vektor satuan dari <1, 1, 1>, yaitu diagonal kubus, adalah <0.5774, 0.5774, 0.5774>. Besarnya adalah sqrt(1 + 1 + 1) = sqrt(3) ≈ 1.7321, sehingga setiap komponen menjadi 1 / sqrt(3) ≈ 0.5774. Ketiga komponen sama karena vektor menunjuk secara setara di sepanjang setiap sumbu.

Vektor Satuan dari Dua Titik (A → B)

Cari vektor satuan dari titik A ke titik B dengan mengurangkan koordinat, lalu menormalisasi. Untuk A = (2, 1, 3) dan B = (5, 5, 15), perpindahannya adalah B - A = <3, 4, 12>. Besarnya adalah sqrt(9 + 16 + 144) = sqrt(169) = 13, sehingga vektor satuannya adalah <3/13, 4/13, 12/13> ≈ <0.2308, 0.3077, 0.9231>.

Vektor Satuan dengan Komponen Negatif ⟨-5,12⟩

Vektor satuan dari <-5, 12> adalah <-0.3846, 0.9231>. Besarnya adalah sqrt(25 + 144) = sqrt(169) = 13, sehingga komponennya adalah -5/13 dan 12/13. Tanda negatif tetap terbawa, dan pemeriksaan panjang tetap menghasilkan 0.1479 + 0.8521 = 1.

Sudut Arah & Kosinus Arah

Sudut arah dan kosinus arah menghubungkan vektor satuan dengan sumbu koordinat. Sudut-sudut mengukur orientasi, dan kosinusnya adalah komponen vektor satuan itu sendiri.

Apa Itu Sudut Arah (α, β, γ)?

Sudut arah α, β, dan γ adalah sudut yang dibentuk vektor dengan sumbu x, y, dan z positif, masing-masing antara 0° dan 180°. Untuk diagonal kubus <1, 1, 1>, ketiga sudut sama dengan 54.74° (0.9553 rad), karena vektor condong secara setara ke setiap sumbu.

Bagaimana Komponen Vektor Satuan = Kosinus Arah

Setiap komponen vektor satuan sama dengan kosinus sudut arahnya, nilai-nilai yang dikenal sebagai kosinus arah, sehingga cos α = x/|v|, cos β = y/|v|, dan cos γ = z/|v|. Oleh karena itu, vektor satuan <0.6, 0.8> memiliki kosinus arah 0.6 dan 0.8, yang memberikan sudut 53.13° dan 36.87°. Jumlah kuadrat kosinus arah sama dengan 1, aturan yang sama yang mendefinisikan vektor satuan.

Vektor Terkait

Dua vektor terkait dibangun di atas normalisasi: vektor normal satuan dan vektor tangen satuan.

Kasus Khusus & Kesalahan Umum

4 kasus yang paling sering menjebak orang: vektor nol, vektor yang sudah ternormalisasi, komponen negatif, dan membagi dengan besar yang salah.

Vektor Nol (tidak dapat dinormalisasi)

Vektor nol <0, 0, 0> tidak dapat dinormalisasi. Besarnya adalah 0, dan membagi dengan nol tidak terdefinisi, sehingga vektor itu tidak memiliki vektor satuan. Vektor nol juga tidak memiliki arah, itulah alasan aturan ini berlaku. Kalkulator menandai kasus ini alih-alih menghasilkan suatu hasil.

Vektor yang Sudah Merupakan Vektor Satuan

Vektor yang sudah berpanjang 1 tetap sama setelah normalisasi. Periksa dengan menghitung besarnya: jika sama dengan 1, vektor itu adalah vektor satuannya sendiri. Vektor <0.6, 0.8> menghasilkan <0.6, 0.8> karena sqrt(0.36 + 0.64) = 1.

Bisakah Vektor Satuan Bernilai Negatif?

Ya, vektor satuan dapat memiliki komponen negatif. Tanda negatif menetapkan arah sepanjang sumbu, bukan panjangnya. Vektor <-0.6, 0.8> adalah vektor satuan yang valid karena 0.36 + 0.64 = 1. Panjangnya tetap positif bahkan ketika komponennya menjadi negatif.

Membagi dengan Besar yang Salah

Membagi dengan besar yang salah adalah kesalahan paling umum dan menghasilkan hasil yang panjangnya bukan 1. Biasanya ini berasal dari lupa mengkuadratkan suatu komponen, menghilangkan akar kuadrat, atau mencampur suku 2D dan 3D. Jalankan pemeriksaan vektor satuan setelah membagi: kuadratkan komponen-komponennya dan pastikan jumlahnya 1.

Mengapa Menormalisasi Vektor?

Menormalisasi vektor memisahkan arah dari ukuran, yang menjadi penting setiap kali sebuah perhitungan membutuhkan arah murni. 3 bidang di bawah ini paling bergantung padanya.

Fisika & Teknik (gaya, arah)

Fisika dan teknik menggunakan vektor satuan untuk menyatakan arah suatu gaya, kecepatan, atau medan sambil menjaga besarnya tetap terpisah. Gaya sebesar 20 newton (N) di sepanjang bidang miring terbagi menjadi vektor satuan untuk arah dan skalar untuk kekuatannya. Pemisahan yang sama muncul sebelum analisis tegangan, selama perhitungan gaya angkat aerodinamis, dan untuk garis medan magnet. Norma matriks bahkan menggunakan vektor satuan untuk mengukur seberapa besar suatu transformasi linear meregangkan suatu input.

Pengembangan Game & Grafik 3D (gerakan, pencahayaan, normal)

Pengembangan game dan grafik 3D menormalisasi vektor untuk menggerakkan karakter dengan kecepatan tetap, menghitung pencahayaan, dan menyimpan normal permukaan. Vektor gerakan yang dibagi dengan besarnya menjaga kecepatan tetap konstan ke segala arah. Normal satuan mendorong pewarnaan dalam fisika mesin game, dan rotasi kuaternion bergantung pada vektor ternormalisasi untuk menghindari penyimpangan.

Robotika, GPS & Pembelajaran Mesin

Robotika, GPS, dan pembelajaran mesin menormalisasi vektor untuk membandingkan arah tanpa bias ukuran. Robotika menggunakan vektor satuan untuk sudut sendi robot dan pembidikan ujung-efektor. GPS bekerja dengan koordinat geodetik dan vektor arah untuk arah hadap. Pembelajaran mesin menormalisasi vektor fitur untuk gradien jaringan saraf dan dalam pengelompokan spektral, di mana hanya sudut antarvektor yang seharusnya diperhitungkan.

Sifat-Sifat Vektor Satuan

Vektor satuan memiliki 6 sifat penentu, tercantum di bawah ini.

Pertanyaan yang Sering Diajukan