Калкулатор за единичен вектор

Как да използвате калкулатора за единичен вектор

Използването на калкулатора за единичен вектор отнема 3 стъпки: изберете настройката, въведете компонентите и прочетете резултата. Калкулаторът преизчислява в момента, в който въвеждате, така че няма бутон за изпращане, а пълно решение стъпка по стъпка се появява под инструмента.

Въвеждане на 2D и 3D компоненти

Въведете 2D вектор, като попълните полетата x и y, след като зададете измерението на 2D. Въведете 3D вектор, като превключите на 3D, което показва полето z за вектор във формата <x, y, z>. Полетата приемат десетични дроби, отрицателни числа и кратки изрази като sqrt(2) или 3^2. Декартовата координатна система обрамчва и двата случая, така че 2D вектор лежи в равнината, а 3D вектор сочи навсякъде в 3D пространството.

Какво получавате (обяснение на резултатите)

Калкулаторът връща 4 резултата за всеки ненулев вектор, който въведете, изброени в таблицата по-долу.

Дължина на вектор ‖v‖ - какво означава числото

Дължината на вектора ||v|| е дължината на вектора, намерена чрез ||v|| = sqrt(x^2 + y^2 + z^2). Числото показва колко далеч достига стрелката от началото до върха си. Дължина 5 означава, че векторът е дълъг 5 единици. Това е същата стойност, която връща калкулатор за дължина на вектор или калкулатор за разстояние, и тя следва пряко от Питагоровата теорема, приложена към компонентите.

Единичен вектор в компонентна форма ⟨x/‖v‖, …⟩

Единичният вектор в компонентна форма изброява всяка изходна компонента, разделена на дължината, записана като <x/||v||, y/||v||, z/||v||>. Всяка компонента на единичния вектор е между -1 и 1, а сборът от квадратите на всички компоненти е равен на 1. Тази форма запазва посоката на вектора непроменена, докато задава дължината на точно 1.

Същият резултат в означение i, j, k

Същият единичен вектор се появява в означение i, j, k, където i = <1, 0, 0>, j = <0, 1, 0> и k = <0, 0, 1> са базисните вектори. Единичен вектор <0.6, 0.8> се чете като 0.6 i + 0.8 j. Двете форми съдържат едни и същи числа, така че изберете което означение използва вашият курс или код.

Ъгли на посоката / насочващи косинуси

Ъглите на посоката α, β и γ са ъглите, които векторът сключва с осите x, y и z. Техните косинуси, наречени насочващи косинуси, са равни на компонентите на единичния вектор. За 2D вектор калкулаторът дава един ъгъл на посоката theta = atan2(y, x), измерен от положителната ос x.

Какво е единичен вектор?

Единичен вектор е вектор с дължина, равна на 1. Той задава чиста посока, без да носи размер. Делението на всеки ненулев вектор на неговата дължина дава единичния вектор по същата права. В Декартова координатна система, 3-те единични вектора, които изграждат 3D пространството, са <1, 0, 0> за посока x, <0, 1, 0> за посока y и <0, 0, 1> за посока z. Всеки вектор в 3D пространството е равен на сбор от тези единични вектори.

Означение с шапка (v̂)

Означението с шапка записва единичен вектор с циркумфлекс, или шапка, над буквата, така че единичният вектор на v се записва v̂ и се чете “v с шапка.” Шапката е стандартният знак, че векторът има дължина 1. Базисните вектори носят същия знак, както в î, ĵ и k̂.

Единичен вектор срещу вектор на посока

Единичният вектор и векторът на посока описват една и съща идея от два ъгъла. Векторът на посока сочи в избрана посока и може да има всякаква дължина. Единичният вектор е вектор на посока, мащабиран до дължина 1. Таблицата по-долу ги поставя един до друг.

Единичен вектор срещу базисен вектор (i, j, k)

Базисният вектор е единичен вектор, прикрепен към координатна ос, докато единичният вектор може да сочи в произволна посока. 3-те базисни вектора i, j и k имат дължина 1 и са насочени по осите x, y и z. Единичен вектор като <0.6, 0.8> също има дължина 1, но сочи между осите. Всеки базисен вектор е единичен вектор, но повечето единични вектори не са базисни вектори.

Формула за единичен вектор (û = v/|v|)

Формулата за единичен вектор е û = v / |v|, където û е единичният вектор, v е изходният вектор във формата <x, y, z>, а |v| е дължината. Прилагането на формулата отнема 3 стъпки.

Стъпка 1 - Намерете дължината

Намерете дължината, като повдигнете на квадрат всяка компонента, съберете квадратите и извлечете квадратен корен: |v| = sqrt(x^2 + y^2 + z^2). За v = <8, -3, 5> дължината е sqrt(64 + 9 + 25) = sqrt(98) ≈ 9.8995.

Стъпка 2 - Разделете всяка компонента

Разделете всяка компонента на дължината, за да получите компонентите на единичния вектор. За същия вектор, x = 8 / 9.8995 ≈ 0.8081, y = -3 / 9.8995 ≈ -0.3030 и z = 5 / 9.8995 ≈ 0.5051, така û = <0.8081, -0.3030, 0.5051>.

Стъпка 3 - Проверете, че дължината е 1

Проверете резултата, като изчислите неговата дължина, която трябва да е равна на 1. Повдигането на квадрат и събирането на компонентите по-горе дава 0.6530 + 0.0918 + 0.2552 = 1.0000, така проверката на дължината минава. Калкулаторът извършва тази проверка на единичния вектор вместо вас и отпечатва стойността до резултата.

Решени примери

4-те решени примера по-долу обхващат 2D вектор, 3D вектор, вектор от две точки и вектор с отрицателни компоненти. Въведете който и да е от тях в калкулатора по-горе, за да видите как същите стъпки се изпълняват в реално време.

Пример за 2D единичен вектор ⟨3,4⟩ → ⟨0.6, 0.8⟩

Единичният вектор на <3, 4> е <0.6, 0.8>. Дължината е sqrt(3^2 + 4^2) = sqrt(25) = 5, така делението дава <3/5, 4/5> = <0.6, 0.8>. Проверката на дължината връща 0.36 + 0.64 = 1.

Пример за 3D единичен вектор ⟨1,1,1⟩ → ⟨0.577…⟩

Единичният вектор на <1, 1, 1>, диагоналът на куба, е <0.5774, 0.5774, 0.5774>. Дължината е sqrt(1 + 1 + 1) = sqrt(3) ≈ 1.7321, така всяка компонента става 1 / sqrt(3) ≈ 0.5774. И 3-те компоненти съвпадат, защото векторът сочи еднакво по всяка ос.

Единичен вектор от две точки (A → B)

Намерете единичния вектор от точка A до точка B, като извадите координатите, след което нормирате. За A = (2, 1, 3) и B = (5, 5, 15) преместването е B - A = <3, 4, 12>. Дължината е sqrt(9 + 16 + 144) = sqrt(169) = 13, така единичният вектор е <3/13, 4/13, 12/13> ≈ <0.2308, 0.3077, 0.9231>.

Единичен вектор с отрицателни компоненти ⟨-5,12⟩

Единичният вектор на <-5, 12> е <-0.3846, 0.9231>. Дължината е sqrt(25 + 144) = sqrt(169) = 13, така компонентите са -5/13 и 12/13. Знакът минус се пренася, а проверката на дължината пак връща 0.1479 + 0.8521 = 1.

Ъгли на посоката и насочващи косинуси

Ъглите на посоката и насочващите косинуси свързват единичния вектор с координатните оси. Ъглите измерват ориентацията, а техните косинуси са самите компоненти на единичния вектор.

Какво представляват ъглите на посоката (α, β, γ)?

Ъглите на посоката α, β и γ са ъглите, които векторът сключва с положителните оси x, y и z, всеки между 0° и 180°. За диагонала на куба <1, 1, 1> и 3-те ъгъла са равни на 54.74° (0.9553 rad), защото векторът се накланя еднакво към всяка ос.

Как компонентите на единичния вектор = насочващи косинуси

Всяка компонента на единичния вектор е равна на косинуса на своя ъгъл на посоката - стойностите, известни като насочващи косинуси, така че cos α = x/|v|, cos β = y/|v| и cos γ = z/|v|. Следователно единичният вектор <0.6, 0.8> има насочващи косинуси 0.6 и 0.8, което дава ъгли от 53.13° и 36.87°. Сборът от квадратите на насочващите косинуси е равен на 1 - същото правило, което определя единичен вектор.

Свързани вектори

Два свързани вектора надграждат върху нормирането: единичният нормален вектор и единичният тангенциален вектор.

Специални случаи и често допускани грешки

4 случая объркват хората най-често: нулевият вектор, вече нормиран вектор, отрицателните компоненти и делението на грешна дължина.

Нулевият вектор (не може да се нормира)

Нулевият вектор <0, 0, 0> не може да се нормира. Дължината му е 0, а делението на нула е недефинирано, така че той няма единичен вектор. Нулевият вектор също няма посока, което е причината правилото да важи. Калкулаторът сигнализира за този случай, вместо да върне резултат.

Вектор, който вече е единичен вектор

Вектор, който вече има дължина 1, остава същият след нормиране. Проверете, като изчислите дължината: ако е равна на 1, векторът е собственият си единичен вектор. Векторът <0.6, 0.8> връща <0.6, 0.8>, защото sqrt(0.36 + 0.64) = 1.

Може ли единичните вектори да са отрицателни?

Да, единичните вектори могат да имат отрицателни компоненти. Знакът минус задава посоката по дадена ос, не дължината. Векторът <-0.6, 0.8> е валиден единичен вектор, защото 0.36 + 0.64 = 1. Дължината остава положителна, дори когато компонентите стават отрицателни.

Деление на грешна дължина

Делението на грешна дължина е най-честата грешка и дава резултат, чиято дължина не е 1. Обикновено идва от пропускане да се повдигне компонента на квадрат, изпускане на квадратния корен или смесване на 2D и 3D членове. Извършете проверката на единичния вектор след делението: повдигнете компонентите на квадрат и потвърдете, че сборът е 1.

Защо да нормираме вектори?

Нормирането на вектор отделя посоката от размера, което има значение винаги, когато изчислението изисква чиста посока. 3-те области по-долу разчитат най-много на това.

Физика и инженерство (сили, посока)

Физиката и инженерството използват единични вектори, за да зададат посоката на сила, скорост или поле, докато запазват дължината отделно. Сила от 20 нютона (N) по наклон се разделя на единичен вектор за посоката и скалар за големината. Същото разделяне се появява преди анализ на напрежения, при изчисления на аеродинамична подемна сила и за линии на магнитно поле. Дори матричната норма използва единични вектори, за да измери колко много линейна трансформация разтяга вход.

Разработка на игри и 3D графика (движение, осветление, нормали)

Разработката на игри и 3D графиката нормират вектори, за да движат персонажи с постоянна скорост, да изчисляват осветление и да съхраняват нормали на повърхнини. Вектор на движение, разделен на своята дължина, поддържа постоянна скорост във всяка посока. Единичните нормали управляват затъмняването във физиката на игровите енджини, а кватернионните завъртания разчитат на нормирани вектори, за да избегнат отклонение.

Роботика, GPS и машинно обучение

Роботиката, GPS и машинното обучение нормират вектори, за да сравняват посока без отклонение от размера. Роботиката използва единични вектори за ъглите на ставите на роботите и насочването на крайния ефектор. GPS работи с геодезични координати и вектори на посока за курса. Машинното обучение нормира вектори на признаци за градиентите на невронните мрежи и при спектрално клъстериране, където значение има само ъгълът между векторите.

Свойства на единичните вектори

Единичните вектори споделят 6 определящи свойства, изброени по-долу.

Често задавани въпроси