Калькулятор единичного вектора

Как пользоваться калькулятором единичного вектора

Работа с калькулятором единичного вектора состоит из 3 шагов: выберите настройку, введите координаты и прочитайте результат. Калькулятор пересчитывает значения в момент ввода, поэтому нет кнопки отправки, а полное пошаговое решение появляется под инструментом.

Ввод 2D и 3D координат

Введите 2D вектор, заполнив поля x и y после установки размерности 2D. Введите 3D вектор, переключившись на 3D, при этом появляется поле z для вектора вида <x, y, z>. Поля принимают десятичные дроби, отрицательные числа и короткие выражения, такие как sqrt(2) или 3^2. Декартова система координат охватывает оба случая: 2D вектор лежит в плоскости, а 3D вектор направлен в любую точку трёхмерного пространства.

Что вы получаете (объяснение результатов)

Калькулятор возвращает 4 результата для каждого ненулевого вектора, которые перечислены в таблице ниже.

Модуль вектора ‖v‖ - что означает это число

Модуль вектора ||v|| - это длина вектора, которая находится по формуле ||v|| = sqrt(x^2 + y^2 + z^2). Это число показывает, как далеко стрелка тянется от начала координат до своего конца. Модуль, равный 5, означает, что вектор имеет длину 5 единиц. Это то же значение, которое возвращает калькулятор модуля вектора или калькулятор расстояния, и оно напрямую следует из теоремы Пифагора, применённой к координатам.

Единичный вектор в координатной форме ⟨x/‖v‖, …⟩

Единичный вектор в координатной форме перечисляет каждую исходную координату, делённую на модуль, и записывается как <x/||v||, y/||v||, z/||v||>. Каждая координата единичного вектора лежит между -1 и 1, а сумма квадратов всех координат равна 1. Эта форма сохраняет направление вектора неизменным, устанавливая длину ровно равной 1.

Тот же результат в записи i, j, k

Тот же единичный вектор представляется в записи i, j, k, где i = <1, 0, 0>, j = <0, 1, 0> и k = <0, 0, 1> - это базисные векторы. Единичный вектор <0.6, 0.8> читается как 0.6 i + 0.8 j. Обе формы содержат одни и те же числа, поэтому выбирайте ту запись, которая используется в вашем курсе или коде.

Направляющие углы / направляющие косинусы

Направляющие углы α, β и γ - это углы, которые вектор образует с осями x, y и z. Их косинусы - направляющие косинусы - равны координатам единичного вектора. Для 2D вектора калькулятор выводит один направляющий угол theta = atan2(y, x), отсчитываемый от положительного направления оси x.

Что такое единичный вектор?

Единичный вектор - это вектор, длина которого равна 1. Он задаёт чистое направление, не неся никакого размера. Деление любого ненулевого вектора на его модуль даёт единичный вектор вдоль той же прямой. В декартовой системе координат 3 единичных вектора, образующих трёхмерное пространство, - это <1, 0, 0> для направления x, <0, 1, 0> для направления y и <0, 0, 1> для направления z. Каждый вектор в трёхмерном пространстве равен сумме этих единичных векторов.

Запись со шляпкой (v̂)

В записи со шляпкой единичный вектор обозначается циркумфлексом, или «шляпкой», над буквой, поэтому единичный вектор v записывается как v̂ и читается «v со шляпкой». Шляпка - это стандартный знак того, что вектор имеет длину 1. Базисные векторы несут тот же знак, как в î, ĵ и k̂.

Единичный вектор и направляющий вектор

Единичный вектор и направляющий вектор описывают одну и ту же идею с двух сторон. Направляющий вектор указывает выбранное направление и может иметь любую длину. Единичный вектор - это направляющий вектор, приведённый к длине 1. В таблице ниже они приведены рядом.

Единичный вектор и базисный вектор (i, j, k)

Базисный вектор - это единичный вектор, привязанный к координатной оси, тогда как единичный вектор может указывать в любую сторону. 3 базисных вектора i, j и k каждый имеют длину 1 и совпадают с осями x, y и z. Единичный вектор вроде <0.6, 0.8> тоже имеет длину 1, но направлен между осями. Каждый базисный вектор является единичным, однако большинство единичных векторов не являются базисными.

Формула единичного вектора (û = v/|v|)

Формула единичного вектора - û = v / |v|, где û - единичный вектор, v - исходный вектор вида <x, y, z>, а |v| - модуль. Применение формулы занимает 3 шага.

Шаг 1 - найдите модуль

Найдите модуль, возведя каждую координату в квадрат, сложив квадраты и извлекая квадратный корень: |v| = sqrt(x^2 + y^2 + z^2). Для v = <8, -3, 5> модуль равен sqrt(64 + 9 + 25) = sqrt(98) ≈ 9.8995.

Шаг 2 - разделите каждую координату

Разделите каждую координату на модуль, чтобы получить координаты единичного вектора. Для того же вектора x = 8 / 9.8995 ≈ 0.8081, y = -3 / 9.8995 ≈ -0.3030 и z = 5 / 9.8995 ≈ 0.5051, поэтому û = <0.8081, -0.3030, 0.5051>.

Шаг 3 - проверьте, что длина равна 1

Проверьте результат, вычислив его модуль, который должен равняться 1. Возведение в квадрат и сложение приведённых выше координат даёт 0.6530 + 0.0918 + 0.2552 = 1.0000, поэтому проверка длины проходит успешно. Калькулятор выполняет эту проверку единичного вектора за вас и печатает значение рядом с результатом.

Разобранные примеры

4 разобранных примера ниже охватывают 2D вектор, 3D вектор, вектор по двум точкам и вектор с отрицательными координатами. Введите любой из них в калькулятор выше, чтобы увидеть те же шаги в реальном времени.

Пример 2D единичного вектора ⟨3,4⟩ → ⟨0.6, 0.8⟩

Единичный вектор для <3, 4> равен <0.6, 0.8>. Модуль равен sqrt(3^2 + 4^2) = sqrt(25) = 5, поэтому деление даёт <3/5, 4/5> = <0.6, 0.8>. Проверка длины возвращает 0.36 + 0.64 = 1.

Пример 3D единичного вектора ⟨1,1,1⟩ → ⟨0.577…⟩

Единичный вектор для <1, 1, 1>, диагонали куба, равен <0.5774, 0.5774, 0.5774>. Модуль равен sqrt(1 + 1 + 1) = sqrt(3) ≈ 1.7321, поэтому каждая координата становится 1 / sqrt(3) ≈ 0.5774. Все 3 координаты совпадают, потому что вектор направлен одинаково вдоль каждой оси.

Единичный вектор по двум точкам (A → B)

Найдите единичный вектор от точки A до точки B, вычтя координаты, а затем выполнив нормирование. Для A = (2, 1, 3) и B = (5, 5, 15) перемещение равно B - A = <3, 4, 12>. Модуль равен sqrt(9 + 16 + 144) = sqrt(169) = 13, поэтому единичный вектор равен <3/13, 4/13, 12/13> ≈ <0.2308, 0.3077, 0.9231>.

Единичный вектор с отрицательными координатами ⟨-5,12⟩

Единичный вектор для <-5, 12> равен <-0.3846, 0.9231>. Модуль равен sqrt(25 + 144) = sqrt(169) = 13, поэтому координаты равны -5/13 и 12/13. Знак минус сохраняется, и проверка длины по-прежнему возвращает 0.1479 + 0.8521 = 1.

Направляющие углы и направляющие косинусы

Направляющие углы и направляющие косинусы связывают единичный вектор с координатными осями. Углы задают ориентацию, а их косинусы и есть сами координаты единичного вектора.

Что такое направляющие углы (α, β, γ)?

Направляющие углы α, β и γ - это углы, которые вектор образует с положительными направлениями осей x, y и z, каждый между 0° и 180°. Для диагонали куба <1, 1, 1> все 3 угла равны 54.74° (0.9553 рад), потому что вектор отклоняется одинаково к каждой оси.

Почему координаты единичного вектора = направляющим косинусам

Каждая координата единичного вектора равна косинусу своего направляющего угла - эти значения называются направляющими косинусами, поэтому cos α = x/|v|, cos β = y/|v| и cos γ = z/|v|. Поэтому единичный вектор <0.6, 0.8> имеет направляющие косинусы 0.6 и 0.8, что даёт углы 53.13° и 36.87°. Сумма квадратов направляющих косинусов равна 1 - то же правило, которое определяет единичный вектор.

Связанные векторы

На нормировании строятся два связанных вектора: единичный вектор нормали и единичный касательный вектор.

Особые случаи и распространённые ошибки

Чаще всего людей сбивают с толку 4 случая: нулевой вектор, уже нормированный вектор, отрицательные координаты и деление на неверный модуль.

Нулевой вектор (нельзя нормировать)

Нулевой вектор <0, 0, 0> нельзя нормировать. Его модуль равен 0, а деление на ноль не определено, поэтому у него нет единичного вектора. У нулевого вектора также нет направления, и именно поэтому это правило верно. Калькулятор помечает этот случай вместо того, чтобы возвращать результат.

Вектор, который уже является единичным

Вектор, который уже имеет длину 1, остаётся прежним после нормирования. Проверьте это, вычислив модуль: если он равен 1, вектор является своим собственным единичным вектором. Вектор <0.6, 0.8> возвращает <0.6, 0.8>, потому что sqrt(0.36 + 0.64) = 1.

Могут ли единичные векторы быть отрицательными?

Да, единичные векторы могут иметь отрицательные координаты. Знак минус задаёт направление вдоль оси, а не длину. Вектор <-0.6, 0.8> является корректным единичным вектором, потому что 0.36 + 0.64 = 1. Длина остаётся положительной, даже когда координаты становятся отрицательными.

Деление на неверный модуль

Деление на неверный модуль - самая распространённая ошибка, дающая результат, длина которого не равна 1. Обычно она возникает из-за того, что забыли возвести координату в квадрат, опустили квадратный корень или смешали члены 2D и 3D. Выполните проверку единичного вектора после деления: возведите координаты в квадрат и убедитесь, что сумма равна 1.

Зачем нормировать векторы?

Нормирование вектора отделяет направление от размера, что важно всякий раз, когда вычислению нужно чистое направление. 3 области ниже полагаются на него больше всего.

Физика и инженерия (силы, направление)

Физика и инженерия используют единичные векторы, чтобы задать направление силы, скорости или поля, сохраняя модуль отдельно. Сила в 20 ньютонов (Н), направленная вдоль наклонной плоскости, разбивается на единичный вектор для направления и скаляр для величины. То же разделение появляется перед анализом напряжений, при расчётах аэродинамической подъёмной силы и для линий магнитного поля. Норма матрицы даже использует единичные векторы, чтобы измерить, насколько линейное преобразование растягивает вход.

Разработка игр и 3D-графика (движение, освещение, нормали)

В разработке игр и 3D-графике нормируют векторы, чтобы перемещать персонажей с постоянной скоростью, вычислять освещение и хранить нормали поверхностей. Вектор движения, делённый на свой модуль, сохраняет скорость постоянной в любом направлении. Единичные нормали управляют затенением в физике игровых движков, а кватернионные повороты опираются на нормированные векторы, чтобы избежать дрейфа.

Робототехника, GPS и машинное обучение

В робототехнике, GPS и машинном обучении нормируют векторы, чтобы сравнивать направление без влияния размера. Робототехника использует единичные векторы для углов суставов робота и наведения рабочего органа. GPS работает с геодезическими координатами и направляющими векторами для курса. Машинное обучение нормирует векторы признаков для градиентов нейронных сетей и в спектральной кластеризации, где важен только угол между векторами.

Свойства единичных векторов

Единичные векторы обладают 6 определяющими свойствами, перечисленными ниже.

Часто задаваемые вопросы